冯康构图(2)

2017-07-04 10:40 千龙网

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冯康学派之尚在久

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冯康晚年,老骥伏枥,致力于哈密尔顿辛几何算法的开创性的研究,这一领域有诸多传人,现任中国科学院数学所所长尚在久便是其中一位。

1988年,25岁的尚在久考取了冯康的博士。尚在久还清晰地记得入学的第一天,中科院计算中心研究部一位主任带他去冯康家里拜访的情景。那是个晴朗的午后,阳光洒在中关村的单元楼中,虽然不是老北京的胡同景象,但依然有鸽子飞翔,哨音掠过,听上去十分嘹亮。他们从现在的软件园区(原计算中心,1998年机构改革,四个数学类研究所整合成立了数学与系统科学研究院)走到冯康的家。

1988年商业气氛已经很浓,即便是大学校园里也是到处都在谈论倒买倒卖的事,正是全民皆商之时,很少有人能安下心来读书。

冯康当时住在黄庄小区的809楼4层,四室一厅。这是所长楼,新落成不久,算是中国科学院最好的房子了。吴文俊先生住在二楼,对面楼的同一位置是杨乐。尚在久以前没见过冯康,但在硕士研究生期间,看到过陈省身主编的一本叫作《21世纪的中国数学展望》的书,其中列了好几个重点方向,计算数学方向即是冯康主持的。冯康当然大名鼎鼎,是中国计算数学的学科带头人,考上冯康的博士,现在又去先生家里,让尚在久既激动又紧张,不过见到冯康,紧张与激动完全消失了,因为很快便被冯康本身的精气神吸引,忘记了紧张。

冯康个子很小,但精神很好,坐在沙发上炯炯有神,谈话声音洪亮、干脆,不是平时随便说说话,聊聊天,而是抑扬顿挫,自然大气,气场很足。几句话便有感染力,一般人初次见面就会被他吸引。一个多小时的谈话,尚在久感觉像做梦一样。这是大师的家,大师的殿堂,四居室。那也是尚在久第一次见到四居室的房子,觉得数学就该是这样的环境,人与环境是一体的,如同神庙。冯康问尚在久都念过一些什么书,大学的老师是谁。冯康竟然知道给尚在久上过拓扑学课程的内蒙古大学的陈杰教授。陈杰教授原是北大的教师,解放前在四川大学毕业后,到中央研究院工作,跟随陈省身做研究。1957年北大支援内蒙古大学建校,陈杰去了内蒙古大学,是建校元老。陈杰曾说到冯康的有限元方法是很系统严密的数学理论,是一项了不起的成果。尚在久讲到这些,冯康很愉快。

冯康介绍了将来跟他读博士做什么,特别讲到辛几何算法。冯康实际上在20世纪70年代中期,还没“解放”时,就开始思考动力系统的计算问题:动态的问题,数学上随时间发展由微分方程来描述,是一种研究这类问题的长时间的计算方法。当年的有限元方法为平衡态问题提供了一整套基本的计算方法,比如说鼓的牛皮表面的应力计算,比如说弯曲的板在达到平衡时的形变,等等,这是典型的平衡态问题。通常情况下,平衡态的问题在给定精度范围,有限元能够给出较满意的计算结果。但是,冯康对尚在久说,很多重要的动态问题,如水波的运动,天体长时间演化的动力学状态,这些本质上具有某种守恒性质的动力学问题还没有一套好的计算方法。如果计算相对短的时间,现有的算法能够对付,但是如果计算的时间足够长,则大多数常用的算法都不灵了。而对这类守恒性动力学问题,研究其长时间的演化行为是极其重要的。

冯康一直在调研、思考解决这种问题的计算方法,1984年在北京双微会议(即陈省身先生发起的“微分几何和微分方程国际研讨会”)上冯康首次公开提出哈密尔顿系统的辛几何算法,那是他多年来调研、思考的结果。冯康认为辛算法只是第一步,但这个方向非常重要,有非常广阔的发展前景!冯康说得非常干脆,掷地有声,不容置疑,尚在久受到很大鼓舞,看清了自己的方向,跃跃欲试。“冯康先生就是有这个能力,他很快就能把你调动起来,并且很清晰,有一般人很难具有的感召力。”尚在久回忆说。

2

尚在久的读博生活就这样开始了,冯康喜欢这个来自内蒙古草原的质朴的脸上挂着一层风霜的年轻人,在冯康看来他真是一块璞玉,一块难得的好材料。冯康悉心指引路径:从李雅普诺夫的运动稳定性讲到动力系统的结构稳定性,又讲到著名的KAM理论,即由著名数学家柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)、阿诺德(Arnold)和莫泽建立和完成的哈密尔顿系统拟周期解的理论,其最初背景是太阳系的稳定性,在物理和力学的其他很多方面也有重要应用。冯康想证明辛算法的稳定性,认为这种稳定性应该在KAM理论的框架下研究。那时冯康已在辛算法的构造和计算机实验方面做了大量的工作,数值实验表明辛算法比传统的非辛算法,在计算哈密尔顿系统的动力学问题方面有明显的压倒性优势。其中一个很重要的问题是:是否有一个严格的理论证明这种优势?

从计算数学来讲,算法的稳定性和收敛性是两个最基本的问题。冯康与弟子讨论:比如说画一条曲线,本来是个圆,圆的最基本特点是一条封闭的不自交的曲线,算法的稳定性是说数值计算结果大致也差不多是个圆,计算机图像显示不一定严格地就是一个圆,但起码应该不能离开这个圆的周围太远。收敛性基本上跟算法的精度有关,一个相容的算法(满足最低精度要求)一般都是收敛的。冯康说,收敛性跟稳定性是密切联系的,稳定的算法基本上都是收敛的,但是收敛的算法不一定稳定,这就是这两性的关系。冯康为尚在久确定了研究方向,并明确了题目:“你要把辛算法的稳定性证明了,这就是你的博士论文的题目。”大师如何带弟子,至此十分清晰。

冯康进一步指引弟子,提示辛算法的稳定性要在什么理论框架下建立,那就是:KAM理论。连理论背景都有了。这有点让人想到武侠小说最有魅力的地方:奇遇之后,传授心法与武功秘籍。冯康传授完“基本心法”又给了尚在久一些材料,材料大部分是冯康自己在图书馆复印的,好几篇是俄文材料。冯康甚至把进度都给尚在久安排了,要求尚在久在那年的元旦以前跟自己讲一遍给他的题目。

尚在久一头扎进了先生给的材料,就像扎进了武功秘籍,进去后尚在久发现阿诺德的那几篇俄文的文章非常不好读,跳跃性太大,包括很多在天体力学方面的应用更难。尚在久很想集中精力地先把KAM理论弄清楚,把定理的证明看懂,至于这个定理的相关的比如在天体力学方面的应用可以先不管。有一天尚在久找到先生,说这个材料内容太多了,一时难以都消化,问有没有简略一点的。没过几天,冯康便给了尚在久一个单篇文章,是意大利几个天体力学家写的,刚刚发表才不过五年。而俄文的阿诺德的文章是1963年发表的,意大利这几位学者把KAM理论做了一个简练清晰的证明,证明的思想还是柯尔莫哥洛夫的,适合研究生看。尚在久很快就读完了全文,用了不到两个月的时间。

这中间尚在久还参加了每周至少一次的讨论班。开始,辛几何和辛算法尚在久都还不懂,师兄汪道柳在讨论班上已侃侃而谈辛算法。

参加讨论班的学习过程不到两个月,12月份,冯康问尚在久念得怎么样了,尚在久说念完了,大概可以讲讲了。很快冯康便安排尚在久在讨论班上主讲KAM理论。尚在久一共讲了四次或者五次,每次都讲了两个多小时。KAM理论的证明很长,冯康让尚在久讲得细一点,慢一点,具体证明过程的每一步他都仔细听。讨论班在老计算所的五楼,就是当年冯康指导计算导弹原子弹卫星的地方。最后一次讲完以后冯康非常满意,他很少称赞人,但称赞了尚在久。

冯康当时具体敲定:“你的博士论文的题目就这么定了:《对哈密尔顿系统的辛算法证明相应的KAM理论》。”

论文题目一定,尚在久便更细致、更踏实、更准确地做这个方向的研究了,同时也更广泛地研读相关的文献。1990年差不多年底的时候,尚在久关于KAM理论的论文结果出来了,大功告成。

这期间当然也遇到种种困难,但很少找先生。有了难点,尚在久一般是先打电话约先生,然后去先生家。冯康总是很有兴趣很耐心地听学生讲难点,听的过程中会突然说“你等等”,然后就跑到书房,找到一本书,“你看看这本书的这部分内容,也许能对你有帮助。”往往是尚在久拿回书去,发现书上做了密密麻麻的笔记,写得也仔仔细细。有时一本书有些重要的地方作者不会仔细推断,冯康经常给补齐,且补得很细致。这对尚在久的论文帮助很大,几乎所有真正的困难都是这样克服的。

冯康对弟子的指导既宏观(确定方向)又具体。尚在久开始证明辛算法KAM理论的时候,原来想用柯尔莫哥洛夫先固定角频率的思想,结果做了一段时间行不通,便改用阿诺德的方法。但是阿诺德的文章不怎么好读,另外阿氏的一些估计不严密,太粗糙,尚在久用不了,因此尚在久必须自己给出更严格更精细的估计。虽然不能否认阿氏的方法还是有用的,但是过程晦涩。尚在久有一次跟冯康聊起阿诺德带来的这个困难,冯康说就是这样,作者常常是在思考的过程中体现他的思想,过程的复杂体现思想的复杂,过程的晦暗也会给思想罩上一层阴影。冯康后来又给了弟子一本“秘籍”,那是1967年阿诺德和法国数学家阿挽茨合著的《经典力学的遍历问题》,最初版是法文,后来翻译成英文。这次冯康没有把整本书都给尚在久,而是只给了与弟子的问题有关的那部分。那部分是一个附录。那本书里面有好多附录,尚在久记得有三十几个附录—冯康给了尚在久的是第32〜34三个附录的复印件。附录里面有很多批注,阿诺德的证明不详细部分冯康做了很多补证,到现在尚在久还保留着这份材料。

“就是这样的指导过程,”尚在久后来回忆说,“非常的具体,不是让你自己从头摸索去,而是这些都是他读过的,他走过的路,留下许多宝贵的探索经验,可以拿来就用,所以我非常佩服他。你想,这些东西他真正读过,但是他还号称他还没读懂。他没懂的意思是什么?就是他没做这方面的研究。实际上他懂得很!这非常重要,后来我自己带博士也是学这种方法,有的还行,但大部分不成功,因为我的水平比冯先生差得太远,读的东西也没有冯先生那么多。冯先生本来是做计算的,有些书不是他的专业方向,但他还是读得那么细。现在我们做研究的很多人,一般跟自己的研究课题离得远的就不仔细读了,需要的时候往往直接引用。冯康不是,他思考得非常广,而且还细。”

尚在久的博士论文就是这么写出来的,论文证明了哈密尔顿辛算法的KAM理论,冯康非常高兴,多年心愿由弟子完成了。冯康推荐弟子带着论文去意大利国际理论物理中心参加一个研讨班。因为文章太长,冯康就让尚在久写个摘要,要求用英文写。尚在久花了很多功夫写摘要,修改了很多遍,自己觉得比较满意了才拿给先生看。冯康第一遍从头到尾拿着念,尚在久坐在先生旁边,冯康读完,说还不错,尚在久也很高兴。之后冯康便提起笔开始修改,一会儿说这里用这个词更恰当,一会儿说那个句子应该那么改。改完词以后改句子,改完句子又调整段落,最后几遍下来根本就不是原文了。尚在久的小得意荡然无存,对老师也更佩服了。

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